ALJABAR DASAR: MEMBONGKAR PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Bayangkan kamu sedang bermain jungkat-jungkit. Persamaan linear itu persis seperti jungkat-jungkit yang seimbang sempurna (kiri = kanan), sedangkan pertidaksamaan adalah jungkat-jungkit yang miring ke satu sisi (kiri > kanan, atau sebaliknya).
ISI MATERI
Aturan main di bab ini sebenarnya cuma satu: Keadilan. Apapun operasi yang kamu lakukan di ruas kiri, WAJIB kamu lakukan juga di ruas kanan.
Mari kita lihat contoh persamaan:
$$3x - 7 = 14$$Tujuan kita cuma satu: membuat si variabel \(x\) ini jomblo alias sendirian.
- Langkah 1: Usir angka -7 dengan menambahkan 7 ke kedua sisi. Hasilnya: $$3x = 21$$
- Langkah 2: Usir angka 3 yang menempel pada \(x\). Karena itu perkalian, kita usir dengan membagi kedua sisi dengan 3. Hasilnya: $$x = 7$$
Sangat logis, kan? Sekarang, masuk ke Pertidaksamaan. Aturan mainnya sama persis, kecuali ada satu jebakan mematikan yang sering bikin peserta olimpiade kepeleset: Kalau kamu mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, tandanya WAJIB putar balik.
Kenapa bisa begitu? Jangan dihafal, pakai logikamu. Kamu tahu bahwa \(3 < 5\) itu benar. Coba kalikan kedua sisi dengan -1. Apakah \(-3 < -5\)? Tentu salah! Yang benar adalah \(-3 > -5\). Makanya tanda kurang dari harus putar balik jadi lebih dari.
Contoh pertidaksamaan TKA:
$$10 - 2x \geq 24$$Kurangi 10 di kedua sisi:
$$-2x \geq 14$$Nah, di sini kita harus membagi dengan -2. Awas, tanda \(\geq\) putar balik jadi \(\leq\)!
$$x \leq -7$$KUMPULAN RUMUS PENTING
Bentuk Umum Persamaan Linear:
$$ax + b = 0$$Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear:
$$ax + b < 0$$(Berlaku juga untuk \(>\), \(\leq\), \(\geq\))
Sifat-Sifat Krusial Pertidaksamaan (Wajib Paham, Bukan Dihafal):
- Sifat Tambah/Kurang: Jika \(a < b\), maka \(a \pm c < b \pm c\). (Tanda tetap)
- Sifat Kali/Bagi Positif: Jika \(a < b\) dan \(c > 0\), maka \(ac < bc\). (Tanda tetap)
- Sifat Kali/Bagi Negatif (JEBAKAN): Jika \(a < b\) dan \(c < 0\), maka \(ac > bc\). (Tanda DIBALIK)
- Sifat Kebalikan Pecahan: Jika \(a\) dan \(b\) punya tanda yang sama dan \(a < b\), maka \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\).
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Kalau ketemu soal pecahan, jangan repot menyamakan penyebut. Langsung kalikan seluruh ruas dengan KPK dari penyebutnya. Contoh:
$$\frac{x}{2} + \frac{2x}{3} = 5$$ Kalikan 6 (KPK 2 dan 3):
$$3x + 4x = 30 \Rightarrow 7x = 30$$
Risiko salah hitung mendekati nol!
Bentuk \(A \leq B < C\) dengan variabel tersebar jangan dikerjakan serentak. Pecah jadi dua: selesaikan \(A \leq B\) DAN selesaikan \(B < C\). Lalu cari irisan pada garis bilangan.
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan $$4(2x - 3) = 2(x + 9)$$ adalah...
Penyelesaian dari pertidaksamaan $$\frac{3x - 1}{4} - \frac{x + 2}{3} \geq 1$$ adalah...
Umur Ayah sekarang 3 kali umur Budi. Lima tahun yang lalu, jumlah umur mereka adalah 54 tahun. Berapa umur Budi 3 tahun yang akan datang?
Diberikan pertidaksamaan berantai $$-7 \leq 3x - 1 < 11$$. Berapa banyak bilangan bulat \(x\) yang memenuhi kondisi tersebut?
Tentukan jumlah seluruh bilangan bulat \(x\) yang memenuhi sistem pertidaksamaan berantai berikut: $$\frac{2x - 1}{3} \leq \frac{x + 4}{2} < \frac{3x + 7}{4}$$
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Mari bedah Soal Nomor 5. Kita gunakan strategi pecah belah karena \(x\) berserakan di ketiga ruas.
$$\frac{2x - 1}{3} \leq \frac{x + 4}{2}$$
Usir pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan 6 (KPK 3 dan 2):
$$2(2x - 1) \leq 3(x + 4)$$
$$4x - 2 \leq 3x + 12$$
Pindahkan \(3x\) ke kiri dan -2 ke kanan:
$$x \leq 14$$
(Simpan ini sebagai Batas A)
$$\frac{x + 4}{2} < \frac{3x + 7}{4}$$
Kalikan seluruh persamaan dengan 4 (KPK 2 dan 4):
$$2(x + 4) < 1(3x + 7)$$
$$2x + 8 < 3x + 7$$
Pindahkan \(3x\) ke kiri dan 8 ke kanan:
$$-x < -1$$
Awas Jebakan! Bagi dengan -1, tanda WAJIB putar balik:
$$x > 1$$
(Simpan ini sebagai Batas B)
Irisan dari Batas A (\(x \leq 14\)) dan Batas B (\(x > 1\)) adalah:
$$1 < x \leq 14$$
Bilangan bulat yang masuk adalah 2, 3, 4, ..., 14. Ada 13 angka.
Gunakan rumus deret aritmatika:
Jumlah = \(\frac{13}{2} \times (2 + 14)\)
Jumlah = \(\frac{13}{2} \times 16 = 13 \times 8 = 104\)
Jawaban Akhir: 104