RASIO, PERBANDINGAN, DAN SKALA
Kalau kita membahas perbandingan, buang jauh-jauh pikiran kalau ini hanya soal menghitung pecahan. Di level TKA apalagi Olimpiade (OSK/OSP), perbandingan adalah senjata utama untuk membongkar logika sistem. Konsepnya sederhana, tapi aplikasinya bisa menjebak habis-habisan.
ISI MATERI
Mari kita pecah menjadi tiga kerangka berpikir utama:
- 1. Perbandingan Senilai (Makin Banyak, Makin Besar)
Ini logika jajan. Kalau 2 porsi bubur ayam harganya Rp30.000, maka 5 porsi pasti lebih mahal. Variabel A naik, variabel B ikut naik.
Contoh Kasus: Skala peta. Kalau di peta 1 cm mewakili 5 km di dunia nyata, maka 4 cm di peta berarti 20 km. Sesimpel itu. - 2. Perbandingan Berbalik Nilai (Makin Banyak, Makin Sedikit)
Di sinilah pembuat soal TKA mulai tersenyum licik. Logikanya: Kalau variabel A naik, B malah turun. Contoh paling klasik adalah Pekerja vs Waktu atau Kecepatan vs Waktu.
Contoh Kasus: Sebuah proyek selesai dalam 20 hari kalau dikerjakan 5 tukang. Kalau tukangnya ditambah menjadi 10 orang (makin banyak), logikanya proyeknya pasti beres lebih cepat (makin sedikit harinya), yaitu 10 hari. - 3. Logika Level Olimpiade: Total Pekerjaan (Man-Days/Man-Hours)
Di olimpiade, kamu jarang ditanya perbandingan lurus atau terbalik yang mulus. Kamu akan diberi skenario kacau: pekerja tiba-tiba sakit, proyek berhenti karena hujan, atau pipa air bocor.
Cara berpikirnya begini: Jangan pakai pecahan perbandingan biasa, tapi hitung Total Beban Kerja. Bayangkan beban kerja itu tumpukan batu bata. Kalau 10 orang bisa menyelesaikan proyek dalam 12 hari, berarti total bata yang harus dipindah adalah \( 10 \times 12 = 120 \) satuan kerja. Kalau setelah 4 hari kerja tiba-tiba 4 orang sakit, kamu tinggal kurangi sisa bata dengan sisa orang yang ada. Logika ini anti-badai dan anti-hafal rumus.
KUMPULAN RUMUS PENTING
Meski penalaran lebih utama, ini senjata matematis yang wajib dikantongi:
Perbandingan Senilai:
$$ \frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} $$
$$ \frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} $$
Perbandingan Berbalik Nilai:
$$ A_1 \times B_1 = A_2 \times B_2 $$
$$ A_1 \times B_1 = A_2 \times B_2 $$
Skala Peta:
$$ S = \frac{Jarak\ Peta}{Jarak\ Sebenarnya} $$
$$ S = \frac{Jarak\ Peta}{Jarak\ Sebenarnya} $$
Rumus Jebakan 1: Waktu Gabungan (Bekerja Bersama)
Kalau si A selesai dalam \( t_A \) dan si B selesai dalam \( t_B \), waktu jika mereka kerja bersama (\( t_{gabung} \)) adalah:
$$ \frac{1}{t_{gabung}} = \frac{1}{t_A} + \frac{1}{t_B} $$
Kalau si A selesai dalam \( t_A \) dan si B selesai dalam \( t_B \), waktu jika mereka kerja bersama (\( t_{gabung} \)) adalah:
$$ \frac{1}{t_{gabung}} = \frac{1}{t_A} + \frac{1}{t_B} $$
Rumus Jebakan 2: Proyek Terhenti (Total Beban Kerja)
$$ (P_0 \times W_0) = (P_1 \times W_1) + (P_2 \times W_2) + \dots $$
$$ (P_0 \times W_0) = (P_1 \times W_1) + (P_2 \times W_2) + \dots $$
TIPS & TRIK CARA CEPAT
1. Teknik KPK Bawah untuk Kerja Gabungan:
Tidak perlu repot menyamakan penyebut pecahan jika hanya 2 orang yang kerja bersama. Pakai rumus Kali bagi Tambah.
Trik: \( t = \frac{A \times B}{A + B} \).
Bukti: A kerja 6 hari, B kerja 3 hari. Bersama-sama? Langsung saja \( \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \) hari. Selesai.
Tidak perlu repot menyamakan penyebut pecahan jika hanya 2 orang yang kerja bersama. Pakai rumus Kali bagi Tambah.
Trik: \( t = \frac{A \times B}{A + B} \).
Bukti: A kerja 6 hari, B kerja 3 hari. Bersama-sama? Langsung saja \( \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \) hari. Selesai.
2. Jurus Petir (Z-Pattern) untuk Rasio Bertingkat:
Sering menemukan soal Uang A banding B adalah 2:3, uang B banding C adalah 4:5? Susun ke bawah lalu kalikan membentuk pola huruf Z.
\( A : B = 2 : 3 \)
\( B : C = 4 : 5 \)
Hasil gabungannya (\( A:B:C \)): \( (2 \times 4) : (3 \times 4) : (3 \times 5) = 8 : 12 : 15 \).
Sering menemukan soal Uang A banding B adalah 2:3, uang B banding C adalah 4:5? Susun ke bawah lalu kalikan membentuk pola huruf Z.
\( A : B = 2 : 3 \)
\( B : C = 4 : 5 \)
Hasil gabungannya (\( A:B:C \)): \( (2 \times 4) : (3 \times 4) : (3 \times 5) = 8 : 12 : 15 \).
3. Hukum Sisa Hari (Untuk soal proyek terhenti):
Tidak perlu menghitung dari awal! Fokus saja ke sisa pekerjaan.
Sisa Hari \( \times \) Pekerja Awal = Sisa Hari Baru \( \times \) Pekerja Baru.
Tidak perlu menghitung dari awal! Fokus saja ke sisa pekerjaan.
Sisa Hari \( \times \) Pekerja Awal = Sisa Hari Baru \( \times \) Pekerja Baru.
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Soal 1 (Level TKA Dasar - Perbandingan & Skala)
Jarak kota P dan Q di sebuah peta berskala \( 1 : 1.500.000 \) adalah 6 cm. Jika Budi mengendarai motor dari kota P ke Q dengan kecepatan rata-rata 45 km/jam, berapa lama waktu tempuh Budi di perjalanan?
A. 1,5 jam
B. 2 jam
C. 2,5 jam
D. 3 jam
Jarak kota P dan Q di sebuah peta berskala \( 1 : 1.500.000 \) adalah 6 cm. Jika Budi mengendarai motor dari kota P ke Q dengan kecepatan rata-rata 45 km/jam, berapa lama waktu tempuh Budi di perjalanan?
A. 1,5 jam
B. 2 jam
C. 2,5 jam
D. 3 jam
Soal 2 (Level TKA Dasar - Rasio Bertingkat)
Perbandingan kelereng Andi dan Budi adalah \( 3 : 4 \). Sedangkan perbandingan kelereng Budi dan Cici adalah \( 5 : 6 \). Jika selisih kelereng Cici dan Andi adalah 18 butir, maka jumlah kelereng mereka bertiga adalah...
A. 85
B. 90
C. 141
D. 150
Perbandingan kelereng Andi dan Budi adalah \( 3 : 4 \). Sedangkan perbandingan kelereng Budi dan Cici adalah \( 5 : 6 \). Jika selisih kelereng Cici dan Andi adalah 18 butir, maka jumlah kelereng mereka bertiga adalah...
A. 85
B. 90
C. 141
D. 150
Soal 3 (Level TKA HOTS - Kerja Bersama Bersyarat)
Pipa A dapat mengisi sebuah tangki kosong dalam waktu 4 jam. Pipa B dapat mengisi tangki yang sama dalam 6 jam. Namun, di dasar tangki terdapat lubang pembuangan C yang dapat mengosongkan tangki penuh dalam waktu 12 jam. Jika Pipa A, Pipa B, dan lubang C dibuka bersama-sama, dalam berapa jam tangki tersebut akan penuh?
A. 2,4 jam
B. 3 jam
C. 3,6 jam
D. 4 jam
Pipa A dapat mengisi sebuah tangki kosong dalam waktu 4 jam. Pipa B dapat mengisi tangki yang sama dalam 6 jam. Namun, di dasar tangki terdapat lubang pembuangan C yang dapat mengosongkan tangki penuh dalam waktu 12 jam. Jika Pipa A, Pipa B, dan lubang C dibuka bersama-sama, dalam berapa jam tangki tersebut akan penuh?
A. 2,4 jam
B. 3 jam
C. 3,6 jam
D. 4 jam
Soal 4 (Level TKA HOTS - Logika Sisa Pekerjaan)
Sebuah proyek direncanakan selesai dalam waktu 40 hari oleh 30 orang pekerja. Setelah dikerjakan selama 10 hari, pekerjaan terpaksa dihentikan selama 6 hari karena kehabisan bahan baku. Agar proyek selesai tepat waktu, berapa tambahan pekerja yang diperlukan?
A. 7 orang
B. 8 orang
C. 10 orang
D. 12 orang
Sebuah proyek direncanakan selesai dalam waktu 40 hari oleh 30 orang pekerja. Setelah dikerjakan selama 10 hari, pekerjaan terpaksa dihentikan selama 6 hari karena kehabisan bahan baku. Agar proyek selesai tepat waktu, berapa tambahan pekerja yang diperlukan?
A. 7 orang
B. 8 orang
C. 10 orang
D. 12 orang
Soal 5 (Level Olimpiade OSK - Penalaran Rasio & Jarak/Waktu)
Seekor anjing pemburu mengejar seekor kelinci. Kelinci tersebut berada sejauh 30 lompatan anjing di depan anjing pemburu. Setiap kali anjing melompat 3 kali, kelinci melompat 4 kali. Diketahui bahwa jarak yang ditempuh anjing dalam 2 lompatan sama dengan jarak yang ditempuh kelinci dalam 3 lompatan. Berapa total lompatan anjing yang dibutuhkan sampai ia berhasil menangkap kelinci tersebut?
A. 180
B. 210
C. 240
D. 270
Seekor anjing pemburu mengejar seekor kelinci. Kelinci tersebut berada sejauh 30 lompatan anjing di depan anjing pemburu. Setiap kali anjing melompat 3 kali, kelinci melompat 4 kali. Diketahui bahwa jarak yang ditempuh anjing dalam 2 lompatan sama dengan jarak yang ditempuh kelinci dalam 3 lompatan. Berapa total lompatan anjing yang dibutuhkan sampai ia berhasil menangkap kelinci tersebut?
A. 180
B. 210
C. 240
D. 270
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Mari kita bedah Soal 5. Ini adalah tipe soal Olimpiade klasik yang menjebak karena kita dihadapkan pada dua metrik berbeda: Kecepatan melompat (frekuensi) dan Jarak per lompatan (panjang kaki).
Langkah 1: Standardisasi Satuan Jarak (Panjang Lompatan)
Diketahui: 2 lompatan anjing = 3 lompatan kelinci.
Mari kita buat satuannya sama. Kita jadikan Lompatan Anjing (\( L_A \)) sebagai patokan ukuran panjang.
Berarti:
\( 3 \text{ lompatan kelinci } (L_K) = 2 L_A \)
Maka, \( 1 \text{ lompatan kelinci } (L_K) = \frac{2}{3} L_A \).
Diketahui: 2 lompatan anjing = 3 lompatan kelinci.
Mari kita buat satuannya sama. Kita jadikan Lompatan Anjing (\( L_A \)) sebagai patokan ukuran panjang.
Berarti:
\( 3 \text{ lompatan kelinci } (L_K) = 2 L_A \)
Maka, \( 1 \text{ lompatan kelinci } (L_K) = \frac{2}{3} L_A \).
Langkah 2: Menghitung Kecepatan Aktual (Dalam 1 Satuan Waktu/Tik)
Dalam satu momen (kita sebut 1 tik waktu):
Dalam satu momen (kita sebut 1 tik waktu):
- Anjing melompat 3 kali. Jarak tempuh anjing = \( 3 L_A \).
- Kelinci melompat 4 kali. Jarak tempuh kelinci = \( 4 \times (\frac{2}{3} L_A) = \frac{8}{3} L_A \).
Langkah 3: Menghitung Kecepatan Relatif (Kecepatan Menyusul)
Setiap 1 tik waktu berputar, seberapa banyak anjing berhasil memangkas jarak?
Kecepatan menyusul = Jarak Anjing - Jarak Kelinci
Kecepatan menyusul = \( 3 L_A - \frac{8}{3} L_A \)
Samakan penyebut: \( \frac{9}{3} L_A - \frac{8}{3} L_A = \frac{1}{3} L_A \).
Artinya, setiap kali adegan ini terjadi (1 tik), anjing semakin dekat sejauh \( \frac{1}{3} \) panjang lompatannya sendiri!
Setiap 1 tik waktu berputar, seberapa banyak anjing berhasil memangkas jarak?
Kecepatan menyusul = Jarak Anjing - Jarak Kelinci
Kecepatan menyusul = \( 3 L_A - \frac{8}{3} L_A \)
Samakan penyebut: \( \frac{9}{3} L_A - \frac{8}{3} L_A = \frac{1}{3} L_A \).
Artinya, setiap kali adegan ini terjadi (1 tik), anjing semakin dekat sejauh \( \frac{1}{3} \) panjang lompatannya sendiri!
Langkah 4: Menghitung Total Waktu (Tik) untuk Menyusul
Di soal disebutkan kelinci berada 30 lompatan anjing (\( 30 L_A \)) di depan.
Berapa tik yang dibutuhkan untuk menutup jarak \( 30 L_A \) jika kecepatannya \( \frac{1}{3} L_A \) per tik?
\( \text{Total tik} = \frac{\text{Jarak Awal}}{\text{Kecepatan Menyusul}} = \frac{30}{\frac{1}{3}} = 30 \times 3 = 90 \text{ tik} \).
Di soal disebutkan kelinci berada 30 lompatan anjing (\( 30 L_A \)) di depan.
Berapa tik yang dibutuhkan untuk menutup jarak \( 30 L_A \) jika kecepatannya \( \frac{1}{3} L_A \) per tik?
\( \text{Total tik} = \frac{\text{Jarak Awal}}{\text{Kecepatan Menyusul}} = \frac{30}{\frac{1}{3}} = 30 \times 3 = 90 \text{ tik} \).
Langkah 5: Jawaban Final
Pertanyaannya: Berapa total lompatan anjing?
Kita tahu anjing melompat 3 kali setiap 1 tik. Karena butuh 90 tik untuk menangkap kelinci, maka:
Total lompatan anjing = \( 90 \text{ tik} \times 3 \text{ lompatan/tik} = 270 \text{ lompatan} \).
Logika kuncinya ada di Langkah 1 dan 3. Kita tidak bisa membandingkan jarak tanpa menyamakan panjang pengukurnya terlebih dahulu!
Pertanyaannya: Berapa total lompatan anjing?
Kita tahu anjing melompat 3 kali setiap 1 tik. Karena butuh 90 tik untuk menangkap kelinci, maka:
Total lompatan anjing = \( 90 \text{ tik} \times 3 \text{ lompatan/tik} = 270 \text{ lompatan} \).
Logika kuncinya ada di Langkah 1 dan 3. Kita tidak bisa membandingkan jarak tanpa menyamakan panjang pengukurnya terlebih dahulu!