PELUANG: DARI LOGIKA LEMPAR KOIN SAMPAI KOMBINATORIK OLIMPIADE SMP
Belajar peluang itu sebenarnya cuma membandingkan antara "apa yang kita harapkan" dengan "apa saja yang mungkin terjadi". Di level sekolah, kamu mungkin cuma disuruh melempar koin atau dadu. Tapi di level TKA atau Olimpiade (OSK/OSP), pelemparan dadu ini akan digabung dengan konsep kombinatorik, tebak-tebakan bola dalam kotak, sampai syarat-syarat aneh yang menjebak.
ISI MATERI
Mari kita bedah dari akar logikanya.
Peluang suatu kejadian A disimbolkan dengan P(A). Formulanya super sederhana:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$
Keterangan:
n(A) = Banyaknya kejadian yang kita inginkan.
n(S) = Total semua kemungkinan (Semesta).
Level Dasar: Logika Satu Kejadian
Bayangkan ada kotak berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kalau kamu ambil 1 bola sambil tutup mata, berapa peluang dapat merah? Kejadian yang diharapkan (merah) ada 3. Total bola ada 5. Jadi peluangnya \(\frac{3}{5}\). Sesimpel itu.
Level Menengah: Logika "Dan" vs "Atau"
Di TKA, soal mulai digabung. Kuncinya ada di dua kata sakti ini:
- Kata "ATAU" (Saling Lepas): Ditambah (+). Contoh: Peluang terambil bola merah atau putih.
- Kata "DAN" (Saling Bebas/Berurutan): Dikali (\(\times\)). Contoh: Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua.
Level Olimpiade: Syarat Tersembunyi
Di level olimpiade, n(A) dan n(S) tidak diberikan langsung. Kamu harus mencarinya menggunakan aturan Kombinasi (memilih tanpa peduli urutan) atau Permutasi (peduli urutan). Contoh kasus: Dari 10 orang, dipilih 3 orang. Berapa peluang 2 laki-laki dan 1 perempuan? Kamu tidak bisa sekadar pakai hitungan jari. Kamu harus menghitung semestanya dulu menggunakan Kombinasi \(\binom{10}{3}\), lalu menghitung kejadian yang diinginkan menggunakan \(\binom{L}{2} \times \binom{P}{1}\).
KUMPULAN RUMUS PENTING
| Konsep | Rumus |
|---|---|
| Peluang Dasar | \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) |
| Batas Nilai Peluang | \(0 \le P(A) \le 1\) |
| Peluang Komplemen | \(P(A^c) = 1 - P(A)\) |
| Kejadian Saling Lepas (ATAU) | \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) |
| Kejadian Tidak Saling Lepas | \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) |
| Kejadian Saling Bebas (DAN) | \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) |
| Kombinasi (Pilih acak) | \(C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) |
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Kalau ketemu soal "peluang jumlah dua mata dadu...", jangan pernah bikin tabel silang 6x6 lagi. Gunakan pola simetris ini:
- Jumlah Dadu: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
- Peluang (Per 36): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1
Cara baca: Berapa peluang jumlah dadu 10? Lihat angka 10, peluangnya ada 3. Langsung jawab \(\frac{3}{36}\). Selesai 2 detik!
Di soal TKA/HOTS, jika ditanya "Berapa peluang setidaknya ada 1 barang rusak?", JANGAN hitung peluang 1 rusak, ditambah 2 rusak, dsb. Gunakan trik Komplemen:
$$P(\text{Minimal 1}) = 1 - P(\text{TIDAK ada sama sekali})$$
Hitung saja peluang semuanya dalam kondisi bagus (tidak rusak), lalu kurangkan dari 1.
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Sebuah huruf dipilih secara acak dari kata "OLIMPIADE". Berapa peluang terpilihnya huruf vokal?
A. \(\frac{3}{9}\)
B. \(\frac{4}{9}\)
C. \(\frac{5}{9}\)
D. \(\frac{6}{9}\)
Dua buah dadu dilempar bersamaan satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 5 atau 9 adalah...
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{2}{9}\)
C. \(\frac{5}{36}\)
D. \(\frac{7}{36}\)
Peluang Budi lulus ujian adalah 0,8 dan peluang Cita lulus adalah 0,6. Berapakah peluang hanya salah satu dari mereka yang lulus ujian?
A. 0,44
B. 0,48
C. 0,80
D. 0,92
Sebuah koin dimanipulasi (tidak seimbang) sehingga peluang munculnya Angka adalah dua kali lipat peluang munculnya Gambar. Jika koin tersebut dilempar dua kali, peluang muncul keduaya Angka adalah...
A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{2}{9}\)
C. \(\frac{4}{9}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Dari himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} diambil 3 bilangan secara acak sekaligus. Berapakah peluang bahwa jumlah ketiga bilangan yang terambil adalah bilangan ganjil?
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Mari kita bedah Soal 5 (Level Olimpiade). Ini tipe soal klasik OSK yang memaksa kita menggunakan gabungan penalaran Parity (ganjil-genap) dan Kombinatorik.
Bagaimana caranya agar tiga bilangan dijumlahkan hasilnya ganjil? Kita harus bermain di level sifat bilangannya. Penjumlahan 3 bilangan menghasilkan bilangan ganjil hanya bisa terjadi pada 2 kondisi:
- Kasus 1: Ganjil + Ganjil + Ganjil = Ganjil (Contoh: 1+3+5 = 9)
- Kasus 2: Ganjil + Genap + Genap = Ganjil (Contoh: 1+2+4 = 7)
(Catatan: Kalau Genap semua jadinya Genap. Kalau 2 Ganjil 1 Genap jadinya Genap).
Kita memilih 3 bilangan dari 10 bilangan yang ada, tanpa mempedulikan urutan. Gunakan Kombinasi!
$$n(S) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$
Jadi, ada 120 cara mengambil 3 angka dari kotak.
Dalam himpunan 1 sampai 10, terdapat 5 bilangan Ganjil (1,3,5,7,9) dan 5 bilangan Genap (2,4,6,8,10).
- Kasus 1 (Semuanya Ganjil): Kita butuh memilih 3 Ganjil dari total 5 Ganjil.
Banyak cara = \(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) cara.
- Kasus 2 (1 Ganjil dan 2 Genap): Kita butuh memilih 1 Ganjil dari 5, DAN 2 Genap dari 5.
Banyak cara = \(\binom{5}{1} \times \binom{5}{2} = 5 \times \frac{5!}{2! \times 3!} = 5 \times 10 = 50\) cara.
- Total n(A) (Kasus 1 ATAU Kasus 2):
\(n(A) = 10 + 50 = 60\).
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$
Peluang jumlah ketiga angkanya ganjil adalah \(\frac{1}{2}\). Cukup elegan, bukan?