TEOREMA PYTHAGORAS: DARI DASAR SEGITIGA SIKU-SIKU HINGGA LOGIKA OLIMPIADE
Banyak yang mengira Teorema Pythagoras itu cuma urusan menghafal rumus. Kenyataannya, di level TKA apalagi Olimpiade, Pythagoras adalah alat bedah. Soal olimpiade jarang sekali menampilkan segitiga siku-siku secara terang-terangan. Tugas utamamu adalah mencari atau menciptakan segitiga siku-siku yang tersembunyi di dalam bangun lain!
ISI MATERI
Secara konsep dasar, Pythagoras menghubungkan luas persegi yang menempel pada sisi-sisi segitiga siku-siku. Jika kamu menggambar persegi di ketiga sisinya, luas dua persegi yang lebih kecil jika ditambahkan akan sama persis dengan luas persegi terbesar. Logika ini adalah fondasi mutlak.
Mari kita lihat transisi logikanya dengan dua contoh langsung:
Kasus 1 (Level Dasar):
Sebuah tangga sepanjang 5 meter disandarkan ke dinding. Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah 3 meter. Berapa tinggi dinding yang dicapai tangga?
Cara berpikir: Ini jelas segitiga siku-siku lurus. Tangga adalah sisi miring \( c=5 \), jarak mendatar adalah alas \( a=3 \). Kita cari tinggi \( b \).
\( b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) meter.
Kasus 2 (Level Olimpiade / HOTS):
Diketahui segitiga siku-siku memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat berurutan: \( x \), \( x+1 \), dan \( x+2 \). Berapa kelilingnya?
Cara berpikir: Di sinilah Pythagoras berubah menjadi aljabar. Sisi terpanjang pasti \( x+2 \).
$$ (x+2)^2 = x^2 + (x+1)^2 $$
$$ x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 2x + 1 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
Faktorkan: \( (x-3)(x+1) = 0 \). Karena sisi tidak mungkin bernilai negatif, maka \( x = 3 \). Sisinya 3, 4, dan 5. Keliling = 12.
KUMPULAN RUMUS PENTING
Bentuk Baku: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
Mencari Sisi Tegak: \( a = \sqrt{c^2 - b^2} \)
Penentu Jenis Segitiga:
- Siku-siku: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
- Tumpul: \( c^2 > a^2 + b^2 \)
- Lancip: \( c^2 < a^2 + b^2 \)
Diagonal Ruang Balok: \( d = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2} \)
Generator Tripel Pythagoras: Untuk bilangan \( m > n > 0 \)
\( a = m^2 - n^2 \)
\( b = 2mn \)
\( c = m^2 + n^2 \)
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Wajib hafal: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17).
Contoh: Sisi tegak 15, miring 39. Sadari bahwa \( 15 = 5 \times 3 \) dan \( 39 = 13 \times 3 \). Pasti sisi satunya \( 12 \times 3 = 36 \). Hitungan selesai 3 detik tanpa akar kuadrat ribuan!
Cari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan, keluarkan dari akar. Rumus: \( \sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} = k\sqrt{x^2 + y^2} \).
Contoh: Alas 24, tinggi 32. Bagi 8. \( 8\sqrt{3^2 + 4^2} = 8(5) = 40 \). Sangat ampuh mencegah perhitungan rumit!
LATIHAN SOAL
1. (Level Dasar) Sebuah kapal berlayar ke arah utara sejauh 12 km, lalu berbelok ke timur sejauh 9 km. Jarak terdekat posisi kapal sekarang dari titik keberangkatan awal adalah...
A. 15 kmB. 18 km
C. 20 km
D. 21 km
2. (Level Menengah) Pada sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi miringnya adalah 25 cm dan salah satu sisi penyikunya 7 cm. Luas segitiga tersebut adalah...
A. 175 cm²B. 150 cm²
C. 84 cm²
D. 42 cm²
3. (Level HOTS) Sebuah tangga yang panjangnya 2,5 m disandarkan pada tembok. Jarak ujung bawah tangga ke tembok 0,7 m. Jika ujung atas tangga merosot 0,4 m, ujung bawah tangga akan bergeser sejauh...
A. 0,4 mB. 0,8 m
C. 0,9 m
D. 1,5 m
4. (Level Penalaran) Pada trapesium siku-siku ABCD, diketahui sisi AB sejajar CD dan sudut A = sudut D = 90 derajat. Jika panjang AB = 14 cm, CD = 6 cm, dan sisi miring BC = 17 cm, keliling trapesium tersebut adalah...
A. 45 cmB. 52 cm
C. 54 cm
D. 60 cm
5. (Level Olimpiade) Diberikan sebuah persegi panjang ABCD. Terdapat titik P yang terletak di sembarang tempat di dalam persegi panjang. Jika diketahui panjang PA = 3 cm, PB = 4 cm, dan PC = 5 cm, berapakah panjang PD?
A. \( 2\sqrt{3} \) cmB. \( 3\sqrt{2} \) cm
C. \( 4\sqrt{2} \) cm
D. 5 cm
PEMBAHASAN (SOAL OLIMPIADE)
Ini adalah jebakan klasik Olimpiade yang sering disebut British Flag Theorem. Kita harus membedahnya dan menciptakan segitiga siku-siku dari sesuatu yang sepertinya abstrak.
Tarik garis proyeksi tegak lurus dari titik P ke keempat sisi persegi panjang (atas, bawah, kiri, kanan). Misalkan jarak vertikal dan horizontal tersebut adalah w, x, y, dan z. Sekarang kita punya 4 segitiga siku-siku baru yang garis miringnya adalah PA, PB, PC, dan PD.
Jika kita jumlahkan kuadrat sisi yang bersilangan berlawanan arah, kita akan mendapatkan rumus yang terbentuk dari w, x, y, dan z:
\( PA^2 + PC^2 = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 \)
\( PB^2 + PD^2 = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 \)
Karena nilainya sama persis, identitas patennya adalah: $$ PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 $$
Masukkan data yang ada di soal ke dalam rumus yang baru kita ciptakan:
\( 3^2 + 5^2 = 4^2 + PD^2 \)
\( 9 + 25 = 16 + PD^2 \)
\( 34 = 16 + PD^2 \)
\( PD^2 = 18 \)
\( PD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) cm.