TUJUAN MATERI
- Memahami Konsep Dasar: Menjelaskan definisi program linear dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPTLDV) sebagai fondasi pemecahan masalah optimasi.
- Menggambar & Menganalisis Daerah Penyelesaian: Menggambarkan grafik dan menentukan daerah penyelesaian (DP) dari suatu PTLDV atau SPTLDV menggunakan metode uji titik koordinat.
- Menyusun Persamaan Garis: Menentukan persamaan garis lurus pada bidang kartesius berdasarkan berbagai kondisi (melalui satu titik, dua titik, memotong sumbu koordinat, sejajar, atau tegak lurus).
- Menyelesaikan Masalah Optimasi: Menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) serta memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear.
PENGANTAR MATERI
Pernahkah kamu berpikir bagaimana sebuah perusahaan menentukan jumlah produksi barang agar mendapat keuntungan maksimum dengan biaya sekecil-kecilnya? Jawabannya sering kali diselesaikan menggunakan Program Linear.
Program linear adalah alat matematika terapan yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai permasalahan optimasi di dunia nyata, mulai dari bidang ekonomi, industri, hingga manajemen sumber daya. Batasan-batasan dalam masalah tersebut diterjemahkan ke dalam bentuk matematika berupa sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPTLDV).
A. PENDAHULUAN
Program linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahan yang batas-batasannya berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPTLDV).
Program linear mempelajari empat hal utama:
- Menggambar daerah penyelesaian (DP) dari PTLDV atau SPTLDV.
- Menentukan PTLDV atau SPTLDV dari daerah penyelesaian.
- Menentukan nilai optimum (nilai maksimum dan minimum) pada daerah penyelesaian.
- Menyelesaikan masalah mengenai optimasi yang berkaitan dengan program linear.
B. MENENTUKAN DAERAH PENYELESAIAN
Daerah penyelesaian merupakan himpunan penyelesaian (nilai benar) dari PTLDV atau SPTLDV. Daerah penyelesaian dapat dibuktikan melalui pendekatan grafik pada bidang kartesius.
1. Langkah menentukan DP:
- Tentukan dua buah titik sembarang dari pertidaksamaan.
- Tarik garis sehingga kedua titik terhubung dan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.
- Periksa/uji nilai titik di salah satu bagian yang telah terbagi tadi, dengan memasukkan nilai x dan y titik ke pertidaksamaan.
- Jika daerah yang terdapat titik yang diuji nilainya bernilai benar, maka itulah daerah penyelesaian.
- Jika tidak, maka daerah penyelesaiannya berada di bidang lawannya.
- Jika pertidaksamaan mempunyai sama dengan, maka titik-titik pada garis juga merupakan daerah penyelesaian.
- Jika pertidaksamaan tidak mempunyai sama dengan, maka titik-titik pada garis bukan daerah penyelesaian.
2. Contoh Penyelesaian Daerah Penyelesaian
Tentukan daerah penyelesaian dari SPTLDV berikut ini:
x ≥ 0 ...(1)
y ≥ 0 ...(2)
2x + 5y ≥ 10 ...(3)
4x + y > 8 ...(4)
Persamaan 1 dan 2
Persamaan 3
2x + 5y = 10
Uji nilai untuk koordinat (0, 0)
2(0) + 5(0) = 10
0 = 10 pernyataan awal adalah ≥, maka daerah tempat titik yang diuji nilai bernilai salah.
Persamaan 4
4x + y = 8
Uji nilai untuk koordinat (0, 0)
4(0) + (0) = 10
0 = 10 pernyataan awal adalah >, maka daerah tempat titik yang diuji nilai bernilai salah.
C. PERSAMAAN GARIS
Persamaan garis dapat dibentuk dari suatu garis pada bidang kartesius.
1) Garis yang melewati satu titik
2) Garis yang memotong sumbu x dan sumbu y
3) Garis yang melewati dua titik sembarang
4) Dua garis yang sejajar
5) Dua garis yang tegak lurus
